Montrer que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s'il existe \(u,v\in{\Bbb Z}\) tq $$au+bv=1$$ (théorème de Bézout)

Le sens \(\implies\) est une conséquence direct de l'identité de Bézout (\(\forall a,b\in{\Bbb Z},\exists u,v\in{\Bbb Z},\quad au+bv=\operatorname{pgcd}(a,b)\))

Divisions de combinaisons linéaires

Sens \(\impliedby\) : $$\left(\operatorname{pgcd}(a,b)|a\land\operatorname{pgcd}(a,b)|b\right)\implies\operatorname{pgcd}(a,b)|au+bv=1$$

(Identité de Bézout, Division - Diviseur - Divisibilité, Combinaison linéaire)